Polinomlarda İşlemler – İki Değişkenli ve Temel Kurallar

Matematik 9. Sınıf Polinomlar

İki Değişkenli Polinomlar

Değişkenleri x ve y olan, kuvvetleri doğal sayı olacak şekilde yazılabilen ifadeler iki değişkenli polinom olarak adlandırılır.

P(x, y) = a₀ + a₁x + a₂y + a₃x² + a₄xy + a₅y² + …

Burada her terimin katsayısı bir reel sayıdır ve toplam kuvvet terimin derecesini belirler.

Polinomların Eşitliği

İki polinomun eşit olabilmesi için sadece sonuçlarının değil, birebir aynı derecedeki terim katsayılarının eşleşmesi gerekir.

P(x) = a₀ + a₁x + … + aₙxⁿ
Q(x) = b₀ + b₁x + … + bₙxⁿ

Bu durumda P(x) = Q(x) olması için:

a₀ = b₀, a₁ = b₁, … , aₙ = bₙ olmalıdır.

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma

Toplama veya çıkarma yapılırken, ayni derecedeki terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.

(a + b)xⁿ = a·xⁿ + b·xⁿ
P(x) = 3x² + x − 5
Q(x) = 2x² − 4x + 1

P(x) + Q(x) = 5x² − 3x − 4

Polinomlarda Çarpma

Bir polinomu başka bir polinomla çarparken her terim, karşı polinomdaki tüm terimlerle çarpılır ve sonuçlar toplanır.

der(P(x)·Q(x)) = der(P(x)) + der(Q(x))
(x + 2)(x² − x + 3)
= x³ + x² + x + 6
Dikkat:
  • x = 1 yazılırsa polinomun katsayılar toplamı bulunur.
  • x = 0 yazılırsa sabit terim elde edilir.
  • x = −1 yazılarak tek/çift dereceli terimlerin toplamı ayırt edilebilir.

Polinomlarda Bölme

Bir P(x) polinomu, Q(x) polinomuna bölündüğünde elde edilen yapı:

P(x) = Q(x)·B(x) + K(x)

Burada K(x) kalan polinomdur ve:

der(K(x)) < der(Q(x))

Eğer kalan sıfırsa P(x), Q(x)'e tam bölünür.

Kök Testi:

Bir polinomun x − m ifadesiyle tam bölünebilmesi için:

P(m) = 0

Bu sonuç, (x − m)'in polinomun bir çarpanı olduğunu gösterir.

Özet – Bilmen Gerekenler

  • İki değişkenli polinomlarda terim derecesi → x ve y kuvvetlerinin toplamıdır.
  • Toplama/çıkarma → sadece aynı dereceli terimler işleme girer.
  • Çarpma → her terim her terimle çarpılır.
  • Bölme → kalan polinomun derecesi böleninkinden küçüktür.
  • (x − m) tam bölerse → P(m) = 0’dır.