Polinomlar – Temel Kavramlar
Konu Özeti
Bir değişkenli ve gerçek katsayılı cebirsel ifadeler, uygun kuvvetlerle birleştirildiğinde polinom adını alan yapılara dönüşür. Genel gösterimi şöyledir:
Buradaki a₀, a₁, … , aₙ gerçek sayılar polinomun katsayılarını; n ise polinomun derecesini belirleyen en büyük kuvveti ifade eder.
Polinomun Katsayıları
Polinom içinde yer alan a₀, a₁, … , aₙ sayıları, o polinomun katsayıları olarak adlandırılır ve her biri farklı dereceye karşılık gelir.
P(x) = 3 + 2x − 5x²
→ Katsayılar: a₀ = 3, a₁ = 2, a₂ = −5
- a₀ → sabit terimin katsayısı
- a₁ → x’in katsayısı
- a₂ → x²’nin katsayısı
- …
- aₙ → polinomun baş katsayısı
Polinomun Terimleri
Polinomda bulunan her yapı — a₀, a₁x, a₂x², … , aₙxⁿ — birer terimdir. Her terim, katsayısı ve derecesiyle birlikte değerlendirilir.
| Terim | Açıklama |
|---|---|
| a₀ | Sabit terim |
| a₁x | Birinci dereceden terim |
| a₂x² | İkinci dereceden terim |
| … | Ara dereceli terimler |
| aₙxⁿ | En yüksek dereceli terim |
Polinomun Derecesi ve Baş Katsayısı
Bir polinomda x'in aldığı en büyük kuvvet, polinomun derecesi olarak tanımlanır.
Derecesi en büyük olan terimin katsayısı ise polinomun baş katsayısıdır:
P(x) = 4 − 3x + 7x³
→ Derece = 3
→ Baş katsayı = 7
Sıfır Polinomu
Bütün katsayıları sıfır olan polinomlara sıfır polinomu denir:
Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
Sabit Polinom
Yalnızca sabit terimden oluşup diğer katsayıları sıfır olan polinomlar sabit polinom olarak tanımlanır:
a₁ = a₂ = … = aₙ = 0
Bu durumda polinom:
Sabit polinomların derecesi 0 olarak kabul edilir.
Örnek Çözüm
a = 1, b = −5, c = 6 olsun:
Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
- Baş katsayı → en yüksek dereceli terimin katsayısıdır.
- Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
- Sabit polinomların derecesi 0dır.
- Bir polinomun her terimi aₖxᵏ biçiminde yazılabilir.
- Polinomun genel davranışını belirleyen en kritik unsur: derece.
