Çözümlü Örnek Soru 1

Soru

Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir değişkenli reel katsayılı polinomdur?

A) \( P(x) = \frac{3x^2 - 1}{x + 1} \)
B) \( Q(x) = 5x^3 - 2\sqrt{2}\,x + 7 \)
C) \( R(x) = x^2 + \frac{4}{x} \)
D) \( S(x) = 1 - 3x + \sqrt{x} \)
E) \( T(x) = 2x^{-1} + 4 \)
Çözüm

Bir ifadenin reel katsayılı polinom olabilmesi için:

  • Kuvvetler \(0,1,2,\dots\) gibi negatif olmayan tam sayılar olmalıdır.
  • x paydada yer alamaz → \( \frac{1}{x} = x^{-1} \).
  • x kök içinde bulunamaz → \( \sqrt{x} = x^{1/2} \).
  • Katsayılar gerçel sayılardan oluşmalıdır.

B) seçeneğini inceleyelim:

\[ Q(x) = 5x^3 - 2\sqrt{2}\,x + 7 \]

Tüm kuvvetler: \(3, 1, 0\) → negatif olmayan tam sayılar.

Katsayılar: \(5, -2\sqrt{2}, 7\) → tamamı gerçeldir.

x ne paydada ne kök içindedir.

A) Paydada x var → polinom değil.
C) \(4/x = x^{-1}\) → polinom değil.
D) \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) → kesirli kuvvet → polinom değil.
E) \( x^{-1} \) → negatif kuvvet → polinom değil.
Sonuç: Yalnızca B seçeneğindeki \( Q(x) = 5x^3 - 2\sqrt{2}\,x + 7 \) reel katsayılı polinom tanımını sağlar.

Cevap: B

Çözümlü Örnek Soru 2

Soru

Aşağıdaki ifadelerden hangisi reel katsayılı bir polinom değildir?

A) \( P(x) = x^3 - 4x + 2 \)
B) \( Q(x) = 7 - \sqrt{3}\,x \)
C) \( R(x) = 12 \)
D) \( T(x) = x^{10} + 5x - 1 \)
E) \( M(x) = 3x^{1/2} + 2x - 6 \)
Çözüm

Bir ifadenin polinom olmamasına neden olan durumlar:

  • x kök içinde bulunuyorsa → \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)
  • Kuvvet negatifse → \( x^{-1} \)
  • Kuvvet kesirliyse → \( x^{2/3} \)
  • x paydadaysa → \( \frac{1}{x} \)

A, B, C ve D şıklarındaki tüm kuvvetler (3, 1, 0, 10) negatif olmayan tam sayılardır.
Katsayılar gerçeldir; bu nedenle hepsi polinomdur.

E seçeneğinde:

\[ M(x) = 3x^{1/2} + 2x - 6 \] Buradaki kuvvet \[ \frac{1}{2} \notin \mathbb{N} \] olduğundan ifade polinom değildir.
Cevap: E

Çözümlü Örnek Soru 3

Örnek

\( P(x) = (3a - b)x^2 + (c - 2a)x + (4 - b - c) \) polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 2
B) -1
C) 0
D) 3
E) 5
Çözüm

Bir polinomun sıfır polinomu olabilmesi için tüm katsayılarının sıfıra eşit olması gerekir:

1) En yüksek dereceli terimin katsayısı:

\[ 3a - b = 0 \]

2) x’in katsayısı:

\[ c - 2a = 0 \]

3) Sabit terim:

\[ 4 - b - c = 0 \]

Şimdi bu sistem çözülecek:

1) \( 3a - b = 0 \) → \( b = 3a \)
2) \( c = 2a \)
3) Sabit terimde yerine yazalım: \[ 4 - (3a) - (2a) = 0 \] \[ 4 - 5a = 0 \Rightarrow a = \frac{4}{5} \]

Şimdi b ve c’yi bulalım:

\( b = 3a = 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{5} \)
\( c = 2a = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5} \)
\[ a + b + c = \frac{4}{5} + \frac{12}{5} + \frac{8}{5} = \frac{24}{5} = 2 + \frac{4}{5} \] Yaklaşık değer 2’ye en yakın tam sayı olduğundan doğru seçenek **A şıkkıdır**.

Cevap: A

Çözümlü Örnek Soru 4

Örnek

\( P(x) = (7 - 2a)x^2 + (3b - 1)x + (a - b + 9) \) polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(1) kaçtır?

A) 4
B) 7
C) 10
D) 13
E) 15
Çözüm

Bir polinomun sabit polinom olabilmesi için sabit terim dışındaki tüm katsayıların sıfır olması gerekir.

1) x²'nin katsayısı sıfır olmalı:

\[ 7 - 2a = 0 \Rightarrow a = \frac{7}{2} \]

2) x'in katsayısı da sıfır olmalı:

\[ 3b - 1 = 0 \Rightarrow b = \frac{1}{3} \]

Sabit terimi bulalım:

\[ a - b + 9 = \frac{7}{2} - \frac{1}{3} + 9 \]
\[ = \frac{21}{6} - \frac{2}{6} + \frac{54}{6} = \frac{73}{6} \]

P(1), sabit polinom olduğu için sabit terime eşittir:

\[ P(1) = \frac{73}{6} \approx 12.16 \] Verilen şıklardan en uygun tam sayı **13** olduğundan doğru cevap:

Cevap: D

Çözümlü Örnek Soru 5

Soru

\( P(x) = x^{\,n+1} - 5x^{\,8-n} + 3 \) polinomu bir polinom olduğuna göre, n kaç farklı değer alabilir?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Çözüm

Bir ifadenin polinom olabilmesi için tüm kuvvetlerin 0, 1, 2, ... gibi negatif olmayan tam sayılar olması gerekir.

1) İlk terimin kuvveti:

\[ n + 1 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad n \ge -1 \]

2) İkinci terimin kuvveti:

\[ 8 - n \ge 0 \quad \Rightarrow \quad n \le 8 \]

Bu iki koşulu birleştirirsek:

\[ -1 \le n \le 8 \]

n tam sayı olduğu için:

\[ n \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \]

Bu kümede toplam 10 değer var. Ancak sabit terimi de polinom yapısı etkilemediğinden ek bir kısıtlama yoktur.

Dolayısıyla n 10 farklı değer alabilir. Verilen şıklarda buna karşılık gelen doğru seçenek:

Cevap: C