Matematiksel Mantığa Giriş: Önermeler, Doğruluk Değerleri ve Tablolar

Önerme Kavramının Temelleri

Matematiksel mantık, karmaşık düşünce yapılarını analiz etmek ve kesin sonuçlara ulaşmak için kullandığımız bir dildir. Bu dilin en temel yapı taşı ise önermedir. Bir fikrin veya ifadenin mantıksal bir analize tabi tutulabilmesi için, öncelikle onun bir önerme olup olmadığını belirlememiz gerekir. Önerme, mantıksal düşüncenin başlangıç noktasını oluşturur çünkü matematiğin temelinde yatan nesnel yargıları ve evrensel gerçekleri temsil eder.

Matematiksel mantıkta "önerme", herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan ve doğruluğu ya da yanlışlığı kişisel yorumlara kapalı olan ifadeler için kullanılır.

Tanım: Bir cümlenin doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak belirlenebiliyorsa o cümle önermedir.

Bu tanımdaki en kritik unsur, "kesin olarak doğru ya da yanlış" olma kriteridir. Bir ifadenin önerme sayılabilmesi için, "Bu ifade doğru mu, yanlış mı?" sorusuna herkesin tereddütsüz ve aynı cevabı verebilmesi gerekir. Bu nesnellik, matematiksel tutarlılığın temelini oluşturur.

Önermeleri sembolik olarak ifade ederken genellikle p, q, r, s, ... gibi küçük harfler kullanırız.

Aşağıdaki tablo, önerme olan ve olmayan ifadeler arasındaki temel farkı net bir şekilde göstermektedir:

Bir ifadenin önerme olup olmadığını test etmenin pratik bir yolu vardır:

İpucu: Cümlenin sonuna “Bu ifade doğrudur/yanlıştır.” ekleyince anlamlı ve nesnel kalıyorsa büyük olasılıkla önermedir.

Bir ifadenin önerme olduğunu tespit ettikten sonra, onun niteliğini belirleme adımına geçebiliriz. Bu adım, bir sonraki bölümde ele alacağımız doğruluk değerlerinin temelini oluşturur.

Doğruluk Değeri: Önermelerin Niteliği

Bir ifadenin önerme olduğuna karar verdikten sonraki ikinci mantıksal adım, onun "doğruluk değerini" atamaktır. Bu süreç, soyut veya sözel bir ifadeyi, üzerinde matematiksel işlem yapabileceğimiz somut bir değere dönüştürmemizi sağlar. Kısacası, önermenin doğruluğunu veya yanlışlığını sembolik bir dille etiketleriz.

"Doğruluk Değeri", bir önermenin doğru mu yoksa yanlış mı olduğunu belirten niteliktir. Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) müfredatında yaygın olarak kullanılan gösterime göre bu değerler şu şekilde sembolize edilir:

• Doğru bir önermenin doğruluk değeri 1'dir.
• Yanlış bir önermenin doğruluk değeri 0'dır.

Aşağıdaki örnekler bu kavramı somutlaştırmaktadır:

• p: “(41) asal sayıdır.”
  • Analiz: 41 sayısı sadece 1'e ve kendisine bölünebilen bir asal sayıdır. Bu ifade doğrudur.
  • Sonuç: p önermesinin doğruluk değeri 1'dir.
• q: “(-3 + 2 > 7)”
  • Analiz: Parantez içindeki işlem yapıldığında (-1 > 7) ifadesi elde edilir. -1 sayısı 7'den büyük değildir. Bu ifade yanlıştır.
  • Sonuç: q önermesinin doğruluk değeri 0'dır.
• r: “(16) bir tam karedir.”
  • Analiz: 16 sayısı, 4'ün karesi (4²) olduğu için bir tam karedir. Bu ifade doğrudur.
  • Sonuç: r önermesinin doğruluk değeri 1'dir.
• t: “Bir hafta 5 gündür.”
  • Analiz: Bir hafta evrensel olarak 7 günden oluşur. Bu ifade yanlıştır.
  • Sonuç: t önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

Bu doğruluk değerleri (1 ve 0), birden fazla önermenin olası tüm doğruluk kombinasyonlarını sistemli bir şekilde incelememizi sağlayan doğruluk tablolarının temelini oluşturur.

Doğruluk Tabloları ve Genel (2ⁿ) Kuralı

Tekil önermelerin analizinden, birden fazla önermenin bir araya geldiği daha karmaşık mantıksal sistemlere geçiş yapmak esastır. Doğruluk tabloları, bu geçişi sağlayan en güçlü araçlardan biridir. Bu tablolar, iki veya daha fazla önermenin alabileceği tüm olası doğruluk değeri kombinasyonlarını sistematik olarak görselleştirerek mantıksal ilişkileri hatasız bir şekilde analiz etmemize olanak tanır.

Öncelikle, en temel yapı olan iki önermeli (p ve q) bir sistemi inceleyelim:

Bu tabloda 4 satır bulunmaktadır, çünkü iki önermenin her biri doğru (1) veya yanlış (0) olabileceğinden toplam 2 × 2 = 2² = 4 olası durum vardır.

Sisteme üçüncü bir önerme (r) eklediğimizde olasılıkların sayısı artar:

Bu tabloda ise 8 satır bulunmaktadır, çünkü üç önerme için 2 × 2 × 2 = 2³ = 8 farklı durum söz konusudur.

Bu örneklerden yola çıkarak, herhangi bir sayıdaki önerme için doğruluk tablosunun satır sayısını hesaplayan genel bir kural türetebiliriz:

Birbirinden bağımsız n farklı önerme varsa, doğruluk tablosu (2ⁿ) satırdan oluşur.

Bu kuralı pratik olarak kullanabilmek için 2'nin kuvvetlerini bilmek oldukça faydalıdır.

Hatırlatma: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128

Doğruluk tablolarını oluştururken tüm kombinasyonları eksiksiz ve hatasız bir şekilde listelemek için aşağıdaki strateji izlenebilir:

1. En soldaki sütuna (ilk önerme), toplam satır sayısının yarısı kadar 1 ve ardından yarısı kadar 0 yazılır (örn: 8 satırlı tabloda 4 tane 1, 4 tane 0).
2. Bir sağdaki sütuna geçildiğinde bu bloklar yarıya bölünür (örn: 2 tane 1, 2 tane 0 ve bu düzen tekrar edilir).
3. Bu işlem, en sağdaki sütunda 1, 0, 1, 0, ... düzenine ulaşılana kadar devam eder.

Bu teorik bilgilerin pratik senaryolarda nasıl uygulandığını görmek, konunun daha iyi anlaşılmasını sağlayacaktır.

Uygulamalı Analiz ve Senaryolar

Soyut mantık kuralları, somut problemlerin çözümünde güçlü birer araca dönüşür. Bu bölümün amacı, şimdiye kadar öğrendiğimiz teorik bilgileri (önerme tespiti, doğruluk değeri atama ve 2ⁿ kuralı) pratik problem çözme becerisine dönüştürmektir.

Önerme Tespiti

Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadığını gerekçeleriyle belirleyelim:

1. “Mars’ın iki doğal uydusu vardır.” → Önerme (Doğruluğu nesnel olarak test edilebilir.)
2. “Pencereyi kapat.” → Değil (Emir cümlesidir.)
3. “En lezzetli yemek mantıdır.” → Değil (Öznel bir yargıdır.)
4. “(9) sayısı üç ile tam bölünür.” → Önerme (Matematiksel olarak doğruluğu kesindir.)
5. “Keşke bugün yağmur yağsa.” → Değil (Dilek/temenni cümlesidir.)
6. “Deniz seviyesinde su (100°)C’de kaynar.” → Önerme (Fiziksel bir gerçekliktir.)

Doğruluk Değeri Belirleme

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini (1 veya 0) bulalım:

1. p: “(29) asal sayıdır.”
   • Çözüm: 29 sayısı sadece 1'e ve kendisine bölündüğü için asaldır. Bu önerme doğrudur. Değeri: 1.
2. q: “(-2 + 7 < 0)”
   • Çözüm: İşlem yapıldığında (5 < 0) sonucu elde edilir. 5, 0'dan küçük olmadığı için bu önerme yanlıştır. Değeri: 0.
3. r: “Bir dörtgenin iç açılar toplamı (360°) dir.”
   • Çözüm: Bu, temel bir geometrik kuraldır ve doğrudur. Değeri: 1.
4. t: “Bir yıl (52) haftadır.”
   • Çözüm: Bir yıl 365 gündür (artık yıllar hariç). 365'i 7'ye böldüğümüzde 52 hafta ve 1 gün elde ederiz. Bir önermenin doğruluğu nesnel ve kesin olmalıdır. Matematiksel kesinlik arandığında bu ifade tam olarak doğru değildir, bu nedenle doğruluk değeri 0 kabul edilir.

(2ⁿ) Kuralı Uygulaması

1. 5 bağımsız önerme için doğruluk tablosu kaç satırdan oluşur?
   • Cevap: 2⁵ = 32 satır.
2. n tane bağımsız önerme için kaç satır gerekir?
   • Cevap: 2ⁿ satır.
3. 7 bağımsız önerme için kaç satır gerekir?
   • Cevap: 2⁷ = 128 satır.

Senaryo Analizi: Koltuklar

Bir salondaki 1, 2 ve 3 numaralı koltukların durumu (dolu: 1, boş: 0) hakkında iki koşul verilmiştir:

• Koşul 1: “1 ve 2 numaralı koltuklardan en az biri doludur.”
• Koşul 2: “2 ve 3 numaralı koltuklardan tam olarak biri doludur.”

Bu problemi çözmek için koşulların getirdiği kısıtlamaları analiz edelim ve geçersiz durumları eleyelim:

• Koşul 1'in Analizi: "1 ve 2'den en az biri dolu" demek, (1. koltuk, 2. koltuk) ikilisinin (0,0) olamayacağı anlamına gelir. (1,1), (1,0) ve (0,1) durumları bu koşulu sağlar.
• Koşul 2'nin Analizi: "2 ve 3'ten tam olarak biri dolu" demek, (2. koltuk, 3. koltuk) ikilisinin ya (1,0) ya da (0,1) olması gerektiği anlamına gelir. (1,1) ve (0,0) durumları bu koşulu ihlal eder.

Şimdi bu iki koşulu birleştirerek tüm olası durumları (3 koltuk için 2³=8 durum) değerlendirelim:

1. (1,1,1) → Geçersiz. Koşul 1'i sağlar, ancak Koşul 2'yi ihlal eder (2 ve 3'ün ikisi de dolu).
2. (1,1,0) → Geçerli. Koşul 1'i sağlar (1 ve 2 dolu). Koşul 2'yi sağlar (2 dolu, 3 boş).
3. (1,0,1) → Geçerli. Koşul 1'i sağlar (1 dolu). Koşul 2'yi sağlar (2 boş, 3 dolu).
4. (1,0,0) → Geçersiz. Koşul 2'yi ihlal eder (2 ve 3'ün ikisi de boş).
5. (0,1,1) → Geçersiz. Koşul 2'yi ihlal eder (2 ve 3'ün ikisi de dolu).
6. (0,1,0) → Geçerli. Koşul 1'i sağlar (2 dolu). Koşul 2'yi sağlar (2 dolu, 3 boş).
7. (0,0,1) → Geçersiz. Koşul 1'i ihlal eder (1 ve 2'nin ikisi de boş).
8. (0,0,0) → Geçersiz. Koşul 1'i (ve Koşul 2'yi) ihlal eder.

Bu eleme sürecinin sonunda, iki koşulu aynı anda sağlayan yalnızca üç geçerli durum kalır: (1,1,0), (1,0,1) ve (0,1,0). Bu geçerli durumlar incelendiğinde, senaryo hakkında kesin olarak doğru olan bir yargıya varabiliriz.

Kesin Doğru Yargı: "2 numaralı koltuk doluysa 3 numaralı koltuk boştur."

Bu sonuç, doğrudan Koşul 2'den kaynaklanmaktadır. Koşul 2, 2. ve 3. koltukların durumlarının zıt olması gerektiğini (biri 1 ise diğerinin 0 olması) zorunlu kılar.

Bu analizler, edindiğimiz bilgileri pekiştirmek ve sık yapılan hatalardan kaçınmak için bazı önemli noktaları özetlemenin önemini göstermektedir.

Önemli Notlar ve Sık Yapılan Hatalar

Teorik bilgiyi kalıcı hale getirmenin en etkili yollarından biri, konuyla ilgili sık karşılaşılan yanılgıları anlamak ve stratejik ipuçlarını öğrenmektir. Bu bölüm, öğrenilen kavramları sağlamlaştırmak ve olası hataları önlemek amacıyla hazırlanmıştır.

1. Yanlış İfade de Bir Önermedir: En sık yapılan hatalardan biri, yanlış bir ifadenin önerme olmadığını düşünmektir. Örneğin, “Bir üçgenin iç açıları toplamı 200° dir.” cümlesi matematiksel olarak yanlıştır, ancak doğruluğu veya yanlışlığı kesin bir hüküm bildirdiği için bir önermedir. Doğruluk değeri 0'dır.
2. Nesnellik Şarttır: Bir ifadenin önerme olabilmesi için doğruluğunun kişiden kişiye değişmemesi gerekir. “En lezzetli yemek mantıdır.” gibi öznel yargılar önerme olarak kabul edilmez.
3. Cümle Türüne Dikkat: Soru ("En sevdiğin renk ne?"), emir ("Kapıyı kapat!"), ünlem veya dilek ("Keşke kar yağsa!") bildiren cümleler, kesin bir hüküm içermedikleri için önerme değildir.
4. (2ⁿ) Kuralı Sadece Satır Sayısını Verir: Bu kural, bir doğruluk tablosunda kaç farklı olası durum (satır) olduğunu hesaplar. Tablonun içeriğini veya önermeler arasındaki mantıksal ilişkiyi göstermez.

Konunun ana hatlarını özetleyerek ve son bir alıştırma seti sunarak bu temel dersi tamamlayalım.

Genel Özet ve Kapanış Alıştırmaları

Bu derste matematiksel mantığın temel taşlarını oluşturan kavramları inceledik. Aşağıdaki özet, öğrenilen tüm temel kavramların kısa bir tekrarını sunmakta ve ardından bilginizi pekiştirmeniz için bir fırsat sağlamaktadır.

Hızlı Özet

• Önerme: Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan, nesnel hüküm bildiren cümle.
• Değil: Soru, emir, ünlem ve kişisel yargı bildiren cümleler önerme değildir.
• Doğruluk Değeri: Bir önermenin doğru (1) veya yanlış (0) olduğunu belirten değer.
• (2ⁿ) Kuralı: n tane bağımsız önerme için doğruluk tablosunda bulunması gereken toplam satır sayısı.

Kısa Ödev

Aşağıdaki sorular, konuyu ne kadar anladığınızı kendi kendinize test etmeniz için tasarlanmıştır.

1. Aşağıdaki cümlelerin hangileri önermedir? a) “Kapıyı kapatır mısın?” b) “Dünya, Güneş etrafında döner.” c) “Keşke okul geç başlasa.” d) “(25) sayısı asal değildir.”
2. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini yazınız: a) “(0) bir doğal sayıdır.” b) “Bir dik açının ölçüsü (180°) dir.” c) “(121) bir tam karedir.”
3. 6 bağımsız önerme için oluşturulacak bir doğruluk tablosu kaç satırdan oluşur?