II. Dereceden Denklemler – Konu Anlatımı

Matematik 9. Sınıf Denklemler

Tanım

a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 biçimindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Denklemi sağlayan x değerleri, denklemin kökleri olarak adlandırılır. Tüm köklerden oluşan küme ise çözüm kümesidir.

Çözüm Yöntemleri

1) Çarpanlara Ayırma

Denklem uygun biçimde çarpanlarına ayrılabiliyorsa, (x - x₁)(x - x₂) = 0 formatına dönüştürülür.

f(x)·g(x) = 0 ise → f(x) = 0 veya g(x) = 0

2) Diskriminant (Δ) Yöntemi

Diskriminant, köklerin durumunu belirleyen özel bir ifadedir:

Δ = b² − 4ac

Kökler:

x₁,₂ = (-b ± √Δ) / (2a)

Köklerin Durumu (Δ’ye Göre)

  • Δ > 0 → Birbirinden farklı iki gerçek kök vardır.
  • Δ = 0 → Çakışık (eşit) iki gerçek kök vardır.
  • Δ < 0 → Gerçek kök yoktur; çözüm kümesi boş kümedir.

Kökler ile Katsayılar Arasındaki Bağıntılar

Denklem: ax² + bx + c = 0

x₁ + x₂ = −b / a
x₁ · x₂ = c / a

Kökler farkının mutlak değeri:

|x₁ − x₂| = √Δ / |a|

Kökleri Verilen Denklemi Yazma

x₁ ve x₂ kökleri verilen bir ikinci dereceden denklem şu şekilde kurulur:

(x − x₁)(x − x₂) = 0

Dağıtma işlemiyle:

x² − (x₁ + x₂)x + (x₁·x₂) = 0

Örnek: Δ Hesaplama

a = 2, b = −3, c = −5 olsun.

Δ = (−3)² − 4·2·(−5)
Δ = 9 + 40 = 49

→ İki farklı gerçek kök vardır.
Bilmen Gerekenler:
  • Δ köklerin sayısını ve türünü belirleyen ana kriterdir.
  • Kök–katsayı bağıntıları işlem kolaylığı sağlar.
  • a = 0 olduğunda denklem ikinci dereceden olmaz.
  • Kökleri verilen denklem, çarpan formundan kolayca yazılabilir.