Gerçel Sayılar – Sayı Sistemine Giriş

Matematikte kullandığımız sayılar, uzun bir gelişim sürecinden geçmiştir. Bugün kullandığımız gerçel sayılar (ℝ), bu sürecin sonucudur. Peki neden “gerçel” sayılara ihtiyaç duyduk? Hadi adım adım gidelim 👇

1️⃣ Rasyonel Sayılar Nedir?

Tanım:
Bir sayıyı p/q şeklinde (p, q tam sayı ve q ≠ 0 olacak şekilde) yazabiliyorsak, o sayı rasyonel sayıdır.

Örnek:

• ½, 3/4, –5/2, 7 = 7/1 → hepsi rasyoneldir.
  Karşı örnek:
• √2, π, e → bu sayılar rasyonel değildir.

Özellikleri:

• Toplama, çıkarma, çarpma, bölme (bölme sıfır hariç) işlemlerine kapalıdır.
• Yani iki rasyonel sayıyı toplarsak yine rasyonel bir sayı elde ederiz.

Geometrik olarak:
Rasyonel sayıları bir sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz.
Mesela ½ sayısı 0 ile 1’in tam ortasındadır.

Ancak dikkat!
Rasyonel sayılar arasında boşluklar vardır.
Ne kadar çok kesir yazarsak yazalım, bazı uzunluklar hâlâ ifade edilemez.

2️⃣ Rasyonellerin Yetmediği Yerler

Bazı sayılar, hiçbir şekilde kesir olarak yazılamaz.
Buna irrasyonel sayılar diyoruz.

En ünlü örnek:
Bir kenarı 1 birim olan karenin köşegenini düşünelim.
Pisagor Teoremine göre:

Köşegen² = 1² + 1² = 2
Köşegen = √2

Ama √2 sayısını hiçbir p/q kesriyle ifade edemiyoruz.
Yani √2 bir irrasyonel sayıdır.

Sonuç:
Rasyonel sayılar “güzel” ama eksik bir sistemdir.
Bazı uzunluklar, bazı denklemler bu sistemin içinde çözülmez.

3️⃣ İrrasyonel Sayılarla Tanışıyoruz

İrrasyonel sayılar, ondalık olarak düzenli olmayan (ve sonsuza kadar giden) sayılardır.

Örnekler:

• √2 = 1.41421356...
• π = 3.14159265...
• e = 2.71828182...

Bu sayılar asla tam olarak yazılamaz, çünkü kesirli biçimleri yoktur.

Ama artık sayı doğrusunda o “boşlukları” bu sayılarla doldurabiliyoruz.

4️⃣ Gerçel Sayılar (ℝ)

Gerçel Sayı = Rasyonel + İrrasyonel

Yani, hem kesirli sayılar (½, ¾, –2) hem de √2, π gibi kesirle yazılamayan sayılar birleşince, ortaya gerçel sayılar kümesi (ℝ) çıkar.

Kısaca:
R = Q ∪ (irrasyonel sayılar)

Artık sayı doğrusunda hiçbir boşluk kalmaz.
Her noktaya karşılık bir gerçel sayı vardır.

5️⃣ Özet Tablo

💡 Kısa Notlar

• Rasyoneller arası boşlukları irrasyoneller doldurur.
• Sayı doğrusundaki her nokta bir gerçel sayıya karşılık gelir.
• Matematikte “süreklilik” dediğimiz kavram, bu tamlık sayesinde mümkündür.
• Gerçel sayılar, tüm lise matematiğinin temelidir.

🎯 Kısaca Hatırla:

Rasyonel sayılar kesirli,
İrrasyoneller kesirsiz ama var.
İkisi birleşince sayı doğrusu tamamlanır.
İşte bu büyük aileye Gerçel Sayılar (ℝ) denir.