Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler: Kapsamlı Bir Rehber

Cebirsel düşüncenin kapısını aralayan birinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler, matematiğin en temel ve en güçlü araçları arasında yer alır. Bu konu, yalnızca daha ileri matematiksel kavramlar için bir temel oluşturmakla kalmaz, aynı zamanda analitik düşünme ve problem çözme becerilerinin geliştirilmesinde de kilit bir rol oynar. Bu rehberde, denklemlerin kesinliğinden eşitsizliklerin esnekliğine uzanan bu önemli yolculuğu adım adım, anlaşılır örneklerle ve pratik uygulamalarla keşfedeceğiz.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler: Cebirsel Düşüncenin Temelleri

Matematik, kendine özgü kuralları ve sembolleri olan evrensel bir dildir. Bu dili konuşmayı öğrenmenin ilk ve en önemli adımı, birinci dereceden denklemleri çözme becerisinde ustalaşmaktır. Bu denklemler, bilinmeyen bir değeri bulmak için kurulan en temel mantıksal yapılardır ve cebirsel düşüncenin temelini oluştururlar. Bu bölümde, denklemlerin ardındaki terminolojiyi, çözüm yöntemlerini ve özel durumları derinlemesine inceleyeceğiz.

Temel Kavramlar ve Terminoloji

Bir denklemi doğru bir şekilde çözebilmek için öncelikle onun dilini anlamamız gerekir. Aşağıda, bu süreçte karşılacağımız temel terimler ve anlamları yer almaktadır:

• Birinci Dereceden Denklem: ax + b = 0 (burada a ≠ 0) formunda ifade edilebilen denklemlerdir. Bu formül, bir bilinmeyen (x) ile sabit sayılar (a ve b) arasındaki doğrusal ilişkiyi tanımlar. a'nın sıfırdan farklı olması, denklemin bir bilinmeyen içermesini garanti eder.
• Denklemin Kökü / Çözümü: Denklemdeki x yerine konulduğunda eşitliği doğru kılan değerdir. Kökü bulmak, denklem çözme sürecinin nihai hedefidir.
• Çözüm Kümesi: Bir denklemin sahip olduğu tüm kökleri içeren kümedir. Bu küme, denklemin doğasına göre üç farklı şekilde karşımıza çıkabilir:
  • Tek bir çözüm varsa: {x₀}
  • Hiçbir çözüm yoksa: ∅ (Boş Küme)
  • Sonsuz sayıda çözüm varsa: ℝ (Tüm Reel Sayılar)

Standart Çözüm Yöntemi ve Uygulamaları

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümü genellikle sistematik iki adımdan oluşur:

1. Bilinmeyeni içeren terimler eşitliğin bir tarafına, sabit sayılar ise diğer tarafına toplanır. (Bu, eşitliğin her iki tarafına ters işlem —toplama veya çıkarma— uygulanarak dengeyi koruma ilkesine dayanır.)
2. Bilinmeyenin (x) katsayısı, eşitliğin her iki tarafına bölünerek x yalnız bırakılır ve denklemin kökü bulunur. (Bu adım, değişkeni izole etmek için yine eşitliği koruyarak her iki tarafı katsayıya böler.)

Bu süreç, ax + b = 0 denklemi için x = -b/a formülünü temel alır.

--------------------------------------------------------------------------------

Uygulama: 7x - 11 = 3x + 9 denklemini standart adımları izleyerek çözelim.

• Adım 1: Değişkenleri ve sabitleri ayıralım. 3x'i sola, -11'i sağa alalım. 7x - 3x = 9 + 11
• Adım 2: Benzer terimleri birleştirelim. 4x = 20
• Adım 3: x'i yalnız bırakmak için her iki tarafı 4'e bölelim. x = 5

Bu denklemin tek bir kökü vardır. Çözüm Kümesi: {5}

--------------------------------------------------------------------------------

Örnek 2 (Dağılma Özelliği): 2(3x - 4) - 5(1 - x) = 9 denklemini çözelim.

• Adım 1: Öncelikle parantezleri açmak için dağılma özelliğini uygulayalım. (6x - 8) - (5 - 5x) = 9
• Adım 2: Parantezleri kaldıralım ve işaretlere dikkat edelim. 6x - 8 - 5 + 5x = 9
• Adım 3: Benzer terimleri bir araya getirelim. 11x - 13 = 9
• Adım 4: Sabit terimi sağ tarafa alalım. 11x = 22
• Adım 5: x'i yalnız bırakalım. x = 2

Çözüm Kümesi: {2}

Özel Durumların Analizi: Sonsuz Çözüm ve Çelişki

Bazen denklem çözme süreci, bizi beklenmedik sonuçlara götürebilir. Bu iki özel durum, denklemin yapısı hakkında önemli bilgiler verir.

• Sonsuz Çözüm (Özdeşlik): (4x + 2) - (2x + 1) = 2x + 1 denklemini ele alalım. Sol tarafı sadeleştirdiğimizde 2x + 1 ifadesini elde ederiz. Denklem 2x + 1 = 2x + 1 halini alır. Bu eşitlik, x yerine hangi reel sayıyı koyarsak koyalım daima doğru olacaktır. Bu tür ifadelere özdeşlik denir. Çözüm Kümesi: ℝ
• Çözüm Yok (Çelişki): 5(x - 2) = 5x - 7 denklemini inceleyelim. Sol taraftaki parantezi açtığımızda 5x - 10 elde ederiz. Denklem 5x - 10 = 5x - 7 şekline dönüşür. Her iki taraftan 5x'i çıkardığımızda -10 = -7 gibi matematiksel olarak imkansız bir sonuçla karşılaşırız. Bu tür ifadelere çelişki denir ve denklemi sağlayan hiçbir x değeri olmadığını gösterir. Çözüm Kümesi: ∅

Hızlı Kural

Bir denklemi ax + b = 0 formuna getirirken, eğer x'li terimler birbirini yok ederse:

• Kalan sabitler birbirine eşitse (0 = 0 gibi), çözüm kümesi sonsuzdur.
• Kalan sabitler birbirine eşit değilse (c ≠ d gibi), çözüm yoktur.

Rasyonel İfadeli Denklemlerin Çözümü

Kesirli (rasyonel) ifadeler içeren denklemleri çözerken iki kritik noktaya dikkat edilmelidir:

1. Paydaları Eşitleme: İşlem kolaylığı için tüm terimler ortak paydada birleştirilir.
2. Tanım Kümesi Kontrolü: Bulunan kök değerinin, denklemin orijinal halindeki herhangi bir paydayı sıfır yapmadığından emin olunmalıdır. Paydayı sıfır yapan bir değer, denklemin çözümü olamaz.

Örnek 3: (2x + 1)/3 - (x - 5)/2 = 1 denklemini çözelim.

• Adım 1: Ortak payda 6'dır. Paydaları eşitleyelim. 2(2x + 1)/6 - 3(x - 5)/6 = 1
• Adım 2: İfadeleri tek bir kesirde birleştirelim. (4x + 2 - 3x + 15) / 6 = 1
• Adım 3: Payı sadeleştirelim. (x + 17) / 6 = 1
• Adım 4: İçler-dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim. x + 17 = 6 x = -11
• Kontrol: x = -11 değeri orijinal paydaları (3 ve 2) sıfır yapmadığı için geçerli bir çözümdür. Çözüm Kümesi: {-11}

Gerçek Hayat Uygulamaları: Problem Çözme

Birinci dereceden denklemler, soyut matematiksel araçlar olmanın ötesinde, gündelik hayattaki problemleri modellemek ve çözmek için kullanılır.

--------------------------------------------------------------------------------

Örnek 4 (Hız Problemi): Bir bisikletli, A ve B şehirleri arasındaki yolu giderken 18 km/s, dönerken ise 12 km/s hızla katediyor. Toplam yolculuk 5 saat sürdüğüne göre, A ve B şehirleri arasındaki mesafe (x) kaç km'dir?

• Model Kurma: Zaman = Mesafe / Hız formülünü kullanırız.
  • Gidiş süresi: x / 18
  • Dönüş süresi: x / 12
  • Toplam süre: (x / 18) + (x / 12) = 5
• Denklemi Çözme:
  • Paydaları 36'da eşitleyelim: (2x + 3x) / 36 = 5
  • Sadeleştirelim: 5x / 36 = 5
  • x'i bulalım: 5x = 180 => x = 36
• Sonuç: İki şehir arasındaki mesafe 36 km'dir.

--------------------------------------------------------------------------------

Örnek 5 (Karışım Problemi): Tuz oranı %30 olan 2 litrelik bir çözeltiye, tuz oranını %20'ye düşürmek için kaç litre (t) saf su eklenmelidir?

• Model Kurma: Bu tür problemlerdeki kilit nokta, eklenen suyun tuz miktarını değiştirmemesidir.
  • Başlangıçtaki tuz miktarı: 2 * 0.30 = 0.6 litre.
  • Son durumdaki toplam hacim: 2 + t litre.
  • Son durumdaki denklem: Tuz Miktarı / Toplam Hacim = Yeni Oran 0.6 / (2 + t) = 0.20
• Denklemi Çözme:
  • 0.6 = 0.20 * (2 + t)
  • 0.6 = 0.4 + 0.2t
  • 0.2 = 0.2t => t = 1
• Sonuç: Karışıma 1 litre saf su eklenmelidir.

Bu bölümle birlikte, temel denklem çözme becerilerini sağlamlaştırdık ve bir sonraki bölümde ele alınacak olan sayı aralıkları kavramı için bir zemin hazırladık.

Reel Sayılarda Aralık Kavramı: Eşitsizliklere Geçiş

Bu bölümün amacı, tek bir çözümden ziyade bir çözüm setini ifade etmenin standart yolu olan aralık kavramını tanıtmaktır. Aralıklar, özellikle sonsuz sayıda çözüm içeren eşitsizlikleri anlamak ve doğru bir şekilde göstermek için temel bir araçtır.

Aralık Gösterimleri ve Anlamları

Aralıklar, uç noktalarının dahil edilip edilmemesine göre farklı şekillerde gösterilir.

Not: Sonsuzluk (-∞, +∞) bir sayı olmadığı için bir aralığa asla dahil edilemez. Bu nedenle sonsuzluk sembollerinin yanında her zaman yuvarlak parantez () kullanılır.

Aralıklar Üzerinde Temel İşlemler

Aralıklar birer küme olduğu için, üzerlerinde standart küme işlemleri uygulanabilir.

• Kesişim (∩): Her iki aralıkta da ortak olarak bulunan elemanların oluşturduğu kümedir.
• Birleşim (∪): İki aralıktaki tüm elemanların bir araya getirilmesiyle oluşan kümedir.
• Fark (\): Birinci aralıkta olup ikinci aralıkta olmayan elemanların oluşturduğu kümedir.

Örnek 6: A = [-3, 4) ve B = (-1, 6] kümeleri üzerinde bu işlemleri uygulayalım.

• Kesişim: A ∩ B Her iki kümenin ortak olduğu bölge -1'den büyük ve 4'ten küçük sayılardır. Sonuç: (-1, 4)
• Birleşim: A ∪ B İki kümenin kapladığı tüm alanı birleştirdiğimizde -3'ten başlar ve 6'da biter. Sonuç: [-3, 6]
• Fark: A \ B A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları arıyoruz. Bu bölge -3'ten başlar ve B'nin başladığı -1'e kadar devam eder. -1, B kümesine dahil olduğu için A'dan çıkarılmaz. Sonuç: [-3, -1]

Aralık gösterimi (yani çözüm kümelerini tanımlama dili) konusunda sağlam bir temel oluşturduğumuza göre, artık bir sonraki bölümün ana konusunu ele almaya hazırız: tek bir cevabı değil, tüm olasılık aralıklarını bulmayı sağlayan eşitsizlikler.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu bölümde, denklemlerdeki kesin "eşitlik" durumundan, "büyüklük/küçüklük" ilişkilerini ifade eden eşitsizliklere geçiş yapacağız. Eşitsizlikler, bir çözümden ziyade bir çözüm aralığı tanımlar ve bu geçiş, denklem çözüm kurallarında önemli bir değişikliği beraberinde getirir.

Eşitsizlik Çözümünün Temel Kuralları

Eşitsizlikleri çözme süreci, büyük ölçüde denklemleri çözmeye benzer. Değişkenler bir tarafa, sabitler diğer tarafa toplanır. Ancak dikkat edilmesi gereken tek ve en kritik bir fark vardır:

Negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir. (< → >, ≤ → ≥ vb.)

Aşağıdaki örnekler bu kuralların uygulamasını göstermektedir.

--------------------------------------------------------------------------------

Örnek 7 (Temel Çözüm): 5x - 7 ≥ 3x + 1 eşitsizliğini çözelim.

• 5x - 3x ≥ 1 + 7
• 2x ≥ 8
• x ≥ 4 (Pozitif bir sayıya böldüğümüz için yön değişmedi.)

Çözüm Kümesi: [4, ∞)

--------------------------------------------------------------------------------

Örnek 8 (Yön Değişimi): -3x + 2 < 8 eşitsizliğini çözelim.

• -3x < 8 - 2
• -3x < 6
• Her iki tarafı -3'e bölelim. Negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirecektir.
• x > -2

Çözüm Kümesi: (-2, ∞)

Üçlü Eşitsizlikler ve Kesişim Mantığı

-2 < 3x + 1 ≤ 10 gibi üçlü bir eşitsizliği çözmenin en güvenilir yolu, onu iki ayrı parça olarak ele alıp bulunan çözüm kümelerinin kesişimini almaktır.

Örnek 9: -2 < 3x + 1 ≤ 10 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulalım.

1. Sol Parça: -2 < 3x + 1
   • -3 < 3x
   • -1 < x
2. Sağ Parça: 3x + 1 ≤ 10
   • 3x ≤ 9
   • x ≤ 3
3. Kesişim: Şimdi bu iki sonucu birleştirmeliyiz: x, -1'den büyük OLMALI ve 3'ten küçük veya eşit OLMALIDIR. Bu iki koşulun kesişimi, bize nihai çözüm aralığını verir. Sonuç: (-1, 3]

Rasyonel Eşitsizliklere Giriş

Rasyonel ifadeler içeren eşitsizlikler, paydanın işaretinin bilinmemesi nedeniyle özel dikkat gerektirir. Paydaların sabit ve pozitif olduğu basit durumlarda içler-dışlar çarpımı güvenlidir. Ancak paydada değişken varsa, en doğru yöntem işaret tablosu kullanmaktır.

--------------------------------------------------------------------------------

Örnek 10 (Basit Durum): (x + 2)/4 ≥ (2x - 1)/8 eşitsizliğini çözelim.

• Paydalar (4 ve 8) pozitif olduğu için içler-dışlar çarpımı yapabiliriz. Eşitsizlik yön değiştirmez.
• 8(x + 2) ≥ 4(2x - 1)
• 8x + 16 ≥ 8x - 4
• 16 ≥ -4 (Bu ifade, 20 ≥ 0 şeklinde de yazılabilir ve her zaman doğrudur.)
• Bu sonuç, x ne olursa olsun eşitsizliğin daima sağlandığı anlamına gelir. Çözüm Kümesi: ℝ

--------------------------------------------------------------------------------

Örnek 11 (İşaret Tablosu Gerektiren Durum): (x - 3)/(x + 1) < 2 eşitsizliğini çözelim.

• Adım 1: Eşitsizliğin bir tarafını sıfıra eşitleyelim. (x + 1) ifadesinin pozitif mi negatif mi olduğunu bilmediğimiz için basitçe içler-dışlar çarpımı yapamayız. Eğer negatif olsaydı, eşitsizlik yönünü değiştirmemiz gerekirdi. İşaret tablosu, tüm bu olasılıkları hatasız bir şekilde analiz etmemizi sağlayan sistematik bir araçtır. (x - 3)/(x + 1) - 2 < 0 (x - 3 - 2(x + 1)) / (x + 1) < 0 (-x - 5) / (x + 1) < 0
• Adım 2: Payın ve paydanın köklerini (kritik noktalar) bulalım.
  • Payın kökü: -x - 5 = 0 => x = -5
  • Paydanın kökü: x + 1 = 0 => x = -1 (Bu nokta paydayı sıfır yaptığı için çözüme dahil edilemez.)
• Adım 3: İşaret tablosu oluşturalım. Bu tablo, ifadenin kritik noktalara göre işaretini gösterir. Biz ifadenin negatif (< 0) olduğu bölgeleri arıyoruz.

• Sonuç: Tabloya göre ifadenin negatif olduğu aralıklar: Çözüm Kümesi: (-∞, -5) ∪ (-1, ∞)

Değişken Aralıklarından İfade Aralığı Bulma

x ve y gibi değişkenlerin değer aralıkları biliniyorsa, bu değişkenlerden oluşan bir ifadenin alabileceği değer aralığını bulabiliriz.

Örnek 12 (Toplam ve Fark): -3 < x ≤ 2 ve 1 ≤ y < 4 verildiğinde, x + y ve x - y ifadelerinin aralıklarını bulalım.

• x + y ifadesinin aralığı:
  • En Küçük Değer: En küçük x ile en küçük y toplanır: -3 + 1 = -2.
  • En Büyük Değer: En büyük x ile en büyük y toplanır: 2 + 4 = 6.
  • Uç Nokta Analizi: Bir uç nokta, ancak o değere ulaşılabiliyorsa son aralığa dahil edilir (kapalı parantez []). Açık bir uç nokta (yaklaşılan ama ulaşılamayan bir değer) herhangi başka bir uç nokta ile birleştiğinde, sonuç her zaman açık olmalıdır çünkü kesin değere ulaşılamaz. Bu nedenle her iki sonuç da açıktır. Sonuç: (-2, 6)
• x - y ifadesinin aralığı:
  • En Küçük Değer: En küçük x'ten en büyük y çıkarılır: -3 - 4 = -7.
  • En Büyük Değer: En büyük x'ten en küçük y çıkarılır: 2 - 1 = 1.
  • Uç Nokta Analizi: Minimum değerde her iki sınır da (-3 ve 4) açık olduğu için sonuç açıktır. Maksimum değerde ise hem x=2 hem de y=1 değerleri alınabildiği için sonuç kapalıdır. Sonuç: (-7, 1]

--------------------------------------------------------------------------------

Örnek 13 (Çarpım): -2 ≤ x < 3 ve -1 < y ≤ 5 verildiğinde, x * y ifadesinin aralığını bulalım.

• Aralıklarda pozitif ve negatif sayılar olduğu için, olası en küçük ve en büyük değeri bulmak adına tüm uç noktaları birbiriyle çarpmamız gerekir:
  • (-2) * (-1) = 2
  • (-2) * 5 = -10
  • 3 * (-1) = -3
  • 3 * 5 = 15
• Bu sonuçlar arasındaki en küçük değer -10, en büyük değer ise 15'tir.
• Şimdi uçların kapalılık durumunu kontrol edelim:
  • Minimum Değer (-10): Bu değer, -2 ve 5'in çarpımından geldi. x'in aralığı -2'yi (≤), y'nin aralığı da 5'i (≤) içerdiği için, -10 değeri elde edilebilir. Bu nedenle alt sınır kapalıdır ([).
  • Maksimum Değer (15): Bu değer, 3 ve 5'in çarpımından geldi. Ancak x'in aralığı 3'ü içermediği için (<), 15 değerine ulaşılamaz. Bu nedenle üst sınır açıktır ()).
• Sonuç: [-10, 15)

Tamsayı Koşullu Sorulara Yaklaşım

Değişkenlerin reel sayı değil de tamsayı olduğu belirtildiğinde çözüm yaklaşımı tamamen değişir. Aralık bulmak yerine, ifadenin en büyük veya en küçük değerini alması için değişkenlere doğrudan o aralıktaki uygun tamsayı değerleri verilir.

Örnek 14: x ve y birer tamsayı olmak üzere, 2 < x < 8 ve -3 < y < 2 koşulları veriliyor. 3x - 2y ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değer nedir?

• En Büyük Değer (Maksimum): İfadeyi büyütmek için x'e en büyük, y'ye ise en küçük tamsayı değerini vermeliyiz.
  • x'in alabileceği en büyük tamsayı: 7
  • y'nin alabileceği en küçük tamsayı: -2
  • Not: İfadeyi maksimize etmek için en büyük x (yani 7) ve en küçük y tamsayısını seçeriz. -3 < y < 2 aralığındaki en küçük tamsayı -2'dir.
  • Maksimum Değer: 3(7) - 2(-2) = 21 + 4 = 27
• En Küçük Değer (Minimum): İfadeyi küçültmek için x'e en küçük, y'ye ise en büyük tamsayı değerini vermeliyiz.
  • x'in alabileceği en küçük tamsayı: 3
  • y'nin alabileceği en büyük tamsayı: 1
  • Minimum Değer: 3(3) - 2(1) = 9 - 2 = 7

Bu bölüm, denklemlerden eşitsizliklere geçişi tamamlayarak sizi matematiksel ifadeleri daha esnek ve kapsamlı bir şekilde analiz etme yeteneğiyle donatmıştır.

Bilgiyi Pekiştirme: Kontrol Listesi ve Alıştırmalar

Bu son bölümün amacı, öğrendiğimiz konuları pekiştirmek, sık yapılan hatalara karşı farkındalık yaratmak ve pratik uygulamalarla yetkinliğinizi artırmaktır. Matematiksel bilgi, ancak pratikle kalıcı hale gelir.

Sık Yapılan Hatalar: Mini Kontrol Listesi

Aşağıdaki liste, çözüm yaparken kendinizi denetlemenize yardımcı olacaktır.

• [ ] Negatifle çarpıp/bölerken yön değiştirmeyi unutmuyorum.
• [ ] Rasyonel ifadelerde tanım (payda ≠ 0) kontrol ediyorum.
• [ ] Sonsuz aralıklarda daima yuvarlak parantez kullanıyorum.
• [ ] Üçlü eşitsizlikte iki parçayı çözüp kesişim alıyorum.
• [ ] “Sonsuz çözüm / çözüm yok” için özdeşlik–çelişki ayırımını yapıyorum.

Hızlı Alıştırmalar ve Çözüm Anahtarı

1. 9x - 4 = 2(3x + 7) denklemini çözünüz.
2. (x - 2)/5 + (x + 1)/10 = 1 denklemini çözünüz.
3. 3 / (x - 1) > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
4. -1 < 2x + 3 ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan x aralığını bulunuz.
5. x ∈ [0, 2) ve y ∈ (1, 4] olmak üzere, a) x + y ifadesinin aralığını bulunuz. b) x - y ifadesinin aralığını bulunuz.
6. x bir tamsayı ve 1 ≤ x < 8 ise, 5 - 2x ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz.
7. (x + 3)/(x - 2) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

--------------------------------------------------------------------------------

Cevap Anahtarı

1. x = 6
2. x = 9/2
3. (-∞,0)∪(1,4)
4. (-2, 2]
5. a) [1,6) b) (-4,1]
6. En büyük değer 3 (x=1 için), en küçük değer -9 (x=7 için).
7. [-3, 2)

Konu Özeti

Bu rehberde ele alınan konuların en kritik noktaları aşağıda özetlenmiştir:

• Denklemler: Standart çözüm formülü x = -b/a'dır. ax + b = 0 formunda 0 = 0 (özdeşlik) ℝ çözümünü, c ≠ d (çelişki) ise ∅ çözümünü verir.
• Aralıklar: Açık () ve kapalı [] parantezlerin anlamı kritiktir. Kesişim (∩), birleşim (∪) ve fark (\) işlemleri aralıkları birleştirmek veya daraltmak için kullanılır. Sonsuzlukta daima açık parantez kullanılır.
• Eşitsizlikler: En temel kural, negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesidir. Rasyonel ifadelerde paydanın sıfır olamayacağı (tanım kümesi) ve işaret tablosu kullanımı kritik öneme sahiptir.
• Problemler: Gerçek hayat problemlerini çözmenin anahtarı, sözel ifadeyi doğru bir matematiksel denkleme dönüştürmek, sistematik olarak çözmek ve sonucu problem bağlamında kontrol etmektir.

Tekrar Alıştırma - Pekiştirme Çalışması